☛ Convergence d'une suite

Énoncé

On considère la suite \((u_n)\)  définie par \(u_0=\displaystyle\frac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel  \(n\) , \(u_{n+1}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}.\)
On admet que, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(u_n\leqslant u_{n+1} \leqslant 3\) .
Montrer que la suite  \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Solution

La suite  \((u_n)\) est croissante et majorée par  \(3\) donc elle converge vers un réel \(\ell\) .

\(\lim\limits_{\color{green}{n \to +\infty}}(n+1)=\color{red}{+\infty}\)  et \(\lim\limits_{\color{red}{N \to +\infty}}u_N=\color{blue}{\ell}\)  donc par composée \(\lim\limits_{\color{green}{n \to +\infty}}u_{n+1}=\color{blue}{\ell}\) .
La fonction  \(f:x\longmapsto \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}x^2+4}\) est continue sur  \(\mathbb{R}\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4}\) .
Les suites \((u_{n+1})\)  et \(\left(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}u_n^2+4}\right)\) étant égales, par unicité de la limite, on peut affirmer que \(\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4}\) .
En particulier, \(\ell>0\) .
Comme \(\ell>0\) ,
\(\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell^2=\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4\)
\(\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\ell^2=4\)
\(\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell^2=8\)
\(\ell = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}\ell^2+4} \Longleftrightarrow \ell=\sqrt{8}\)  car \(\ell >0\)
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
Ainsi \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=2\sqrt{2}\) .